哈佛国际经济学论文比赛 一张彩票到底值多少钱？

政府经营的彩票在美国很普遍，几乎每个州都管理彩票。2019年，美国彩票收入超过800亿美元。仅在马萨诸塞州，彩票就为当地支出创造了11亿美元。许多美国人参加彩票，尤其是不太富裕的美国人，他们把收入的13%花在彩票上。因为彩票是如此受欢迎的游戏，所以值得从博弈论的角度来分析彩票。玩彩票值得吗？

我们首先讨论典型彩票的期望值（平均回报）。彩票是管理彩票的州的筹款措施，因此他们发放的奖金必须远低于其收入。平均而言，只有60%的州彩票收入以奖金形式分配。这意味着，在大多数情况下，彩票的预期回报必须明显低于其价格，因为各州以可观的利润率运行彩票。更具体地说，我们认为美国玩得最多的彩票之一：强力球。

强力球和期望值

要玩强力球，玩家支付 2 美元并选择 1 到 69 中的五个数字和名义上的强力球，从 1 到 26 不等。玩家根据他们成功预测的数字赢得奖品。预测所有 6 个数字会产生头奖，如果多个玩家正确预测它们，则共享。

玩强力球的可能性

对于 7 月 15 日的强力球抽奖，大致典型的头奖为 1.37 亿美元，假设头奖不会被分享并且忽略税收，2 美元彩票的预期价值为 79.8 美分。头奖分享和税收使期望价值更低，使得典型的强力球抽奖在预期价值方面非常不公平。

但是，对于异常大的头奖，强力球彩票的预期价值可能会超过其成本。对于有史以来最大的头奖彩票，在任何美国彩票中，15.86亿美元，如果不分享头奖，一张2美元彩票的预期价值将是相当有利的5.75美元。虽然与大额头奖分享头奖的可能性增加和税收考虑通常会使彩票的预期价值保持在 2 美元以下，但强力球提供有利的预期价值并非不可想象。强力球彩票的预期价值偶尔会超过2009年开始的一系列规则变更之前的价格。那么，如果预期价值有利，玩强力球是个好主意吗？答案仍然是响亮的否定。

效用与收入之比

为了理解为什么即使是具有高预期彩票价值的彩票通常对玩家来说也是一笔糟糕的交易，我们对大额奖金的价值采取了更细致入微的看法。拥有1000万美元的人的幸福感不是拥有1000万美元的人的幸福感的100万倍，因此了解满意度如何随收入而变化以确定玩彩票是否是一个好主意至关重要。

经济学家使用“收入效用”一词来描述人们在赚取各种收入时获得的满足感。效用对收入的比率随着收入的增加而变化，称为“边际效用与收入”，通常理解为随着收入水平的提高而降低。考虑一个直观的例子：如果你损失了1000美元，如果你每年赚100万美元，你会比你赚10000美元时更不沮丧。当您有更多的收入时，您价值 1，000 美元的金额会更少，您每增加一美元的价值也会减少。

这种现象，“收入的边际效用递减”，与彩票非常相关，玩家可能会赢得巨额资金。赢得5000万美元和5100万美元之间的效用差异可以忽略不计，尽管什么都不赢和赢得100万美元之间的差异是巨大的。由于期望价值没有考虑到这一点，因此明确考虑收入的效用对于理解彩票至关重要。为了量化收入的边际效用递减对彩票的影响程度，我们使用Layard，Mayraz和Nickell提出的收入效用模型。

Layard，Mayraz和Nickell提出了一个模型，其中效用与收入的函数由以下形式的函数来衡量

使用显示不同收入水平下报告的幸福感变化的调查结果，他们估计了参数。取他们的最佳估计，=1.26，我们可以计算出不同收入水平的个人在玩强力球时具有的预期效用（为简单起见，忽略税收并假设没有头奖分享）以及他们在不玩强力球时所拥有的效用。不出所料，每个收入水平的个人在玩强力球时的期望效用都比不玩强力球时要低。

为了量化玩强力球在多大程度上是一笔糟糕的交易，我们确定了游戏的“公平票价”是多少。也就是说，我们确定玩强力球的预期效用与不玩的效用相同的票价。我们为不同收入水平提供三种不同头奖水平的公平门票价格：典型的 2021 年 7 月 15 日头奖、有史以来最大的头奖和 1 万亿美元的不可思议的大头奖（以证明强力球的不公平无法通过增加头奖来纠正）。

有趣的是，头奖大小几乎不会影响公平的票价。这是因为，在模型中，效用与收入之比不会在许多数量级上变化，因此头奖的微小机会几乎不会影响预期的效用。公平的门票价格都在19到27美分之间，与门票的价格以及门票的预期价值（79美分，5.75美元和超过300万美元，对于三个考虑的头奖大小相比，微不足道）。

具有不同家庭收入水平和累积奖金的强力球的公平门票价格

预期的效用计算表明，强力球彩票的价格大约是其价值的 8 到 10 倍，没有头奖可以让它们的价值接近它们的价格。因此，强力球彩票（以及很可能是大多数其他具有大额头奖的彩票）是非常糟糕的购买。仅考虑预期价值（就像大多数关于彩票的文章一样）严重低估了强力球彩票在多大程度上是一笔糟糕的交易。

结论

如果彩票是这么不利的游戏，人们为什么要玩它们？

最令人信服的解释是，许多彩票玩家都是非理性的。一些心理因素使人们难以对风险做出明智的决定。我们很难理解远程非零概率，经常大大高估它们（这可能是许多人引用极其罕见的副作用作为接种疫苗的威慑力的原因之一）。我们通过权衡考虑可能结果的难易程度来估计机会（有时称为“可用性启发式”）。彩票玩家可以很容易地想象它致富，这得益于许多报道大赢家的新闻文章。

彩票运营商在游戏设计和广告中利用了这些不合理性。例如，纽约彩票（New York Lottery）的一个广告系列邀请玩家思考“当（他们）不必考虑金钱时”的生活。这直接吸引了可用性启发式方法，通过让消费者考虑这种可能性，让消费者觉得更有可能赢得大彩票。与此相关的是，强力球的“Power Play”选项允许玩家多花一美元以获得更大的非头奖奖金，这是一笔糟糕的交易。尽管如此，许多玩家选择它，部分原因是人类有强烈的避免后悔的倾向：如果玩家在没有Power Play的情况下赢得大奖，他们会后悔没有多花一美元赢得更多的钱。

理性的人会玩彩票吗？有些人推测彩票玩家知道彩票是一笔糟糕的交易，但玩彩票是因为他们喜欢这个游戏。这可能描述了一些彩票玩家，但它肯定不能解释所有的彩票活动。大约一半的彩票玩家表示他们玩是为了钱，而不是为了好玩，而这个数字在低收入人群中更高。显然，许多人玩彩票希望中奖。

弗里德曼和萨维奇为理性的人如何玩彩票提供了另一种解释。在1948年的一篇论文中，他们拒绝了边际效用对收入必须始终增加的观点，利用许多人玩机会游戏和购买保险的意愿作为形状奇怪的效用曲线的证据。虽然耐人寻味，但弗里德曼和萨维奇的论文受到了激烈的挑战，甚至作者也可能会同意边际效用在巨大的收入范围内平均下降，这使得他们的解释不太可能涵盖玩游戏的意愿，而获得巨额奖金的机会很小。

最终，最好的解释似乎是大多数彩票玩家实际上并没有为了他们的最佳利益而玩彩票。彩票吸引了许多围绕风险的人类谬论，说服许多弱势公民放弃他们的钱，徒劳地希望赢得更好的生活。也许政府应该重新考虑这种筹款方式！